% !TEX TS-program = pdflatex
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode

% This is a simple template for a LaTeX document using the ,,article'' class.
% See ,,book'', ,,report'', ,,letter'' for other types of document.

\documentclass[11pt]{article} % use larger type; default would be 10pt

\usepackage[utf8]{inputenc} % set input encoding (not needed with XeLaTeX)

%%% Examples of Article customizations
% These packages are optional, depending whether you want the features they provide.
% See the LaTeX Companion or other references for full information.

%%% PAGE DIMENSIONS
\usepackage{geometry} % to change the page dimensions
\geometry{a4paper} % or letterpaper (US) or a5paper or....
% \geometry{margins=2in} % for example, change the margins to 2 inches all round
% \geometry{landscape} % set up the page for landscape
%   read geometry.pdf for detailed page layout information

\usepackage{graphicx} % support the \includegraphics command and options

% \usepackage[parfill]{parskip} % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent

%%% PACKAGES
\usepackage{polish}
% \usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae,aecompl}
\usepackage{booktabs} % for much better looking tables
\usepackage{array} % for better arrays (eg matrices) in maths
\usepackage{paralist} % very flexible & customisable lists (eg. enumerate/itemize, etc.)
\usepackage{verbatim} % adds environment for commenting out blocks of text & for better verbatim
\usepackage{subfig} % make it possible to include more than one captioned figure/table in a single float
\usepackage{indentfirst} % Indentation in first paragraphs
\frenchspacing % Same as polish spacing

% These packages are all incorporated in the memoir class to one degree or another...

%%% HEADERS & FOOTERS
\usepackage{fancyhdr} % This should be set AFTER setting up the page geometry
\pagestyle{empty} % options: empty , plain , fancy
% \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % customise the layout...
% \lhead{}\chead{}\rhead{}
% \lfoot{}\cfoot{\thepage}\rfoot{}

%%% SECTION TITLE APPEARANCE
\usepackage{sectsty}
\allsectionsfont{\sffamily\mdseries\upshape} % (See the fntguide.pdf for font help)
% (This matches ConTeXt defaults)

%%% ToC (table of contents) APPEARANCE
%\usepackage[nottoc,notlof,notlot]{tocbibind} % Put the bibliography in the ToC
%\usepackage[titles,subfigure]{tocloft} % Alter the style of the Table of Contents
%\renewcommand{\cftsecfont}{\rmfamily\mdseries\upshape}
%\renewcommand{\cftsecpagefont}{\rmfamily\mdseries\upshape} % No bold!

%%% END Article customizations
%%% The ,,real'' document content comes below...

\begin{document}
\section{Dane}
Mamy dane w postaci wektorów $X$ i $Y$.

\begin {itemize}
	\item Mamy $K$ wekorów wejściowych $X_k = (t_{i_k}, x_{i_k})$ dla $1 \le k \le K$.
	\item Mamy $L$ wektorów wyjściowych $Y_l = (t_{i_l}, x_{i_l})$ dla $1 \le l \le L$.
\end {itemize}

\section{Propozycja postępowania}

\subsection{Przygotowanie danych}
\begin {itemize}
	\item Dla każdej próbki danych tworzymy jej liniowe (albo wielomianowe lub wykładnicze) przybliżenie (np. $y=at+b$) i określamy przedział czasowy dla $t$
	\item Dla każdej przbliżonej funkcją próbki tworzymy zbiór $X=\{(t_i,x_i)\}$, taki że $t_i$ są wspólne dla wszystkich próbek.
	\begin {itemize}
		\item Każdy wektor $X$ lub $Y$ zostanie opatrzony \italic{nazwą} (np. Ilość patentów systemów eksperckich z dziedziny medycyny).
		\item Nazwa będzie składać się z dwóch części: \italic{dopełnienia} (np. ,,Ilość'', ,,Różniczka'', ,,Przyrost'') i \italic{dopełniacza podmiotu} (np. ,,patentów technologii wnioskowania'', ,,publikacji o systemach wspierania decyzji'').
	\end {itemize}
\end {itemize}	

\subsection{Przygotowanie danych (dalsze)}
\begin {itemize}
	\item Tworzymy wektory $\dot{X}$, $\ddot{X}$, $\dot{Y}$, $\ddot{Y}$ dla każdej przetworzonej danej wejściowej (różniczki pierwszego i drugiego rzędu).
	\begin {itemize}
		\item Wektory różniczek dołączą do danych analizowanych i będą w dalszej części tego dokumentu nazywane również jako $X$ i $Y$.
		\item Określamy nazwy dodanych zmiennych:
		\begin {itemize}
			\item Określamy nowe dopełnienie, np. ,,Przyrost tygodniowy'' lub ,,Przyrost (tygodniowy) drugiego rzędu''
			\item Resztę nazwy kopiujemy z przetwarzanego wektora
		\end {itemize}	
	\end {itemize}	
	\item Dla wszystkich wektorów $X$ i $Y$ tworzymy wektory $Z=\log\frac{X_n}{X_{n-1}}$, to samo odpowiednio dla $Y$. --- Uwaga na ujemne ilorazy!
	\begin {itemize}
		\item Dodajemy te wektory do puli wektorów $X$ i $Y$
		\item Określamy nazwy --- nowe dopełnienie (np. ,,Logarytm z'', ,,Logarytm względnego przyrostu z'').
	\end {itemize}	
\end {itemize}	

\subsection{Analiza danych (wtępna)}

\begin {itemize}
	\item Tworzymy macierze korelacji dla wektorów $X$ i $Y$.
	\item Tworzymy macierze \underline{auto}korelacji wektorów $X$ i $Y$.
	\item Wybieramy dla każdego $Y$ wektory $X$ z nim skorelowane.
	\item Badamy wzajemną korelacje wybranych $X$.
	\item Odrzucamy te, $X_i$ które mają zmienną $X_j$ dobrze skorelowaną, zostawiamy zmienną $X_{cośtam}$ bardziej skorelowaną z Y.
\end {itemize}	

\subsection{Analiza danych}

Mając dane wektory $X$ dla danego  $Y$, szukamy funkcji, która najlepiej opisuje relację X do Y.

Badamy funkcje:
\begin {itemize}
	\item
		$Y = a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n + c$
			- kiedy mamy dużo istotnych wektorów $X$
	\item
		$Y = a_{11}X_1^2 + a_{12}X_1X_2 + a_{22}X_2^2 + c$
			- kiedy mamy 2 wektory $X$
	\item
		$Y = a_0 + a_1X + a_2X^2 + ... + a_nX^n$
			- kiedy mamy jeden $X$ (i nie przesadzamy z $n$ --- $n$ równe 3 do 4)
\end{itemize}

Dla każdego otrzymanego wzoru na $Y$, liczymy odchyłkę $\epsilon (t)$:
\begin {itemize}
	\item Liczymy odchylenie standardowe dla $\epsilon$ w funkcji czasu
	\item Estymujemy $Y$ w chwili $t+\tau$ ($\tau$ równe miesiąc, rok...), oznaczamy przedział niepewności ($\pm\epsilon(t+\tau)$).
\end{itemize}

\subsection{Produkujemy wykresy}

Wrzucamy obok siebie wykresy badanych $X$ów, $Y$ów (próbki badane i próbki przybliżane na jednym wykresie), oraz funkcję estymowango $Y$, z zaznaczoną wartością w chwili $t+\tau$ i odchyłką $\epsilon$.
		
Dorzucamy krótki opis typu:

\italic{Bezrobocie zależy od rozwoju systemów $X_1$ i $X_5$, w postaci $Y_{8} = 10X_1 + 2X_5$ i według otrzymanej prognozy powinno wynosić za miesiąc $Y_8(t+30) = 10$ z dokładnością $\sigma(t+30) = 4$.}
	


\end{document}
